第二章流变学本构模型 —互动可视化推导

§1

粘性流体模型

Viscous Flow Models — 稳态剪切行为

牛顿流体模型

Newton's Law of Viscosity

1参数

τ = η · γ̇

η = 常数，粘度不随剪切速率变化

动画

推导

参数

η (Pa·s)20

τ-γ̇ 流动曲线

η-γ̇ 粘度曲线

动量传递假设

流体层间摩擦力与速度梯度成正比，比例系数为动力粘度η

速度梯度定义剪切速率

γ̇ = dv/dy

y方向速度v的梯度即为剪切速率

牛顿本构关系

τ = η · γ̇ = η · dv/dy

η为常数 → τ-γ̇ 图为过原点直线，斜率=η

表观粘度

η_app = τ/γ̇ = η = const

任何剪切速率下粘度恒定，这是牛顿流体的本质特征

参数	符号	单位	典型值
动力粘度	η	Pa·s	水:1mPa·s，甘油:1.5Pa·s

水甘油矿物油蜂蜜低分子溶剂

幂律模型

Ostwald-de Waele Power Law

2参数

τ = K · γ̇ⁿ → η = K · γ̇ⁿ⁻¹

动画

推导

参数

K (Pa·sⁿ)10

n (幂律指数)0.60

广义牛顿假设

允许粘度随剪切速率变化：η = η(γ̇)，使τ = η(γ̇)·γ̇

幂函数假设粘度形式

η(γ̇) = K · γ̇^(n-1)

对数坐标：log η = log K + (n-1)·log γ̇ → 直线，斜率为(n-1)

代入得本构方程

τ = η·γ̇ = K·γ̇^(n-1)·γ̇ = K·γ̇^n

三种行为

n < 1: 剪切变稀（聚合物）

n = 1: 牛顿流体（K=η）

n > 1: 剪切增稠（浓悬浮液）

参数	符号	单位	说明
稠度系数	K	Pa·sⁿ	粘度量级
幂律指数	n	—	偏离牛顿程度

⚠ 局限：低剪切区 η→∞ (n<1)，无零剪切平台，仅适用中等剪切速率区间

聚合物熔体聚合物溶液淀粉糊

Bingham 模型

理想屈服应力流体

2参数

τ = τ_y + η_p · γ̇ (τ > τ_y)

γ̇ = 0 当 τ ≤ τ_y（固态行为）

动画

推导

参数

τ_y (Pa)20

η_p (Pa·s)10

双态假设

材料存在两种状态：应力低于τ_y时为弹性固体，超过后流动

固态区域 (τ ≤ τ_y)

γ̇ = 0 （不流动）

流动区域 (τ > τ_y)

τ - τ_y = η_p · γ̇

等效粘度：η_app = τ_y/γ̇ + η_p（随γ̇增大而减小，呈变稀）

流动曲线特征

斜率 = η_p（塑性粘度）

截距 = τ_y（屈服应力）

参数	符号	单位	说明
屈服应力	τ_y	Pa	流动起始阈值
塑性粘度	η_p	Pa·s	屈服后粘度（常数）

泥浆牙膏水泥浆黄油

Herschel-Bulkley 模型

最通用屈服应力模型

3参数

τ = τ_y + K · γ̇ⁿ

动画

推导

参数

τ_y (Pa)15

n0.70

Bingham模型推广

将屈服后的线性项 η_p·γ̇ 替换为幂律项 K·γ̇^n

H-B本构

τ = τ_y + K·γ̇^n (τ > τ_y)

γ̇ = 0 (τ ≤ τ_y)

包含三种特例

τ_y=0, n=1 → Newton (K=η)

τ_y=0 → Power Law

n=1 → Bingham

表观粘度

η_app = τ_y/γ̇ + K·γ̇^(n-1)

同时含屈服项和幂律项，描述最复杂屈服流体

参数	符号	单位	说明
屈服应力	τ_y	Pa	流动起始阈值
稠度系数	K	Pa·sⁿ	屈服后粘度量级
幂律指数	n	—	屈服后流动特性

钻井泥浆食品化妆品水泥浆

Carreau 模型

全剪切范围粘度描述

4参数

η = η_∞ + (η₀−η_∞)[1+(λγ̇)²]^(n−1)/2

动画

推导

参数

η₀ (Pa·s)200

η∞ (Pa·s)2

λ (s)10

n0.40

物理约束条件

① γ̇→0: η→η₀（零剪切平台）
② γ̇→∞: η→η∞（无穷剪切平台）
③ 中间区: 幂律衰减

构造归一化函数

(η-η∞)/(η₀-η∞) = f(λγ̇)

f(0)=1, f(∞)=0，且中段斜率为幂律

选取函数形式

f(x) = [1+x²]^((n-1)/2)

x≪1: f≈1-((1-n)/2)x²≈1 ✓
x≫1: f≈x^(n-1) → 幂律斜率(n-1) ✓

完整方程

η = η∞ + (η₀-η∞)[1+(λγ̇)²]^((n-1)/2)

参数	符号	单位	说明
零剪切粘度	η₀	Pa·s	低剪切平台
无穷剪切粘度	η∞	Pa·s	高剪切平台
特征时间	λ	s	过渡剪切速率≈1/λ
幂律指数	n	—	幂律区斜率(n-1)/2

聚合物溶液聚合物熔体全剪切范围

Casson 模型

血液/巧克力流变标准

2参数

√τ = √τ_y + √(η_∞·γ̇)

展开：τ = τ_y + η∞·γ̇ + 2√(τ_y·η∞·γ̇)

动画

推导

参数

τ_y (Pa)8

η∞ (Pa·s)10

Casson

Bingham(对比)

Casson (1959) 理论基础

基于两相结构模型：连续相流体+分散聚集体（红细胞聚集）

平方根形式本构

√τ = √τ_y + √(η∞·γ̇)

两边平方展开

τ = τ_y + η∞·γ̇ + 2√(τ_y·η∞·γ̇)

第三项是交叉项，使曲线呈非线性弯曲特征

线性化验证

√τ vs √γ̇ → 直线，斜率=√η∞，截距=√τ_y

参数	符号	单位	说明
屈服应力	τ_y	Pa	流动阈值
无穷剪切粘度	η∞	Pa·s	高剪切极限

血液(ISO标准)巧克力(IOCCC)颜料分散体

§2

线性粘弹性模型

Linear Viscoelastic Models — 小变形动态响应

Maxwell 模型

弹簧串联阻尼器 | 粘弹液体

2参数

τ + λ·dτ/dt = η₀·γ̇

G'= G₀(λω)²/[1+(λω)²] | G''= G₀λω/[1+(λω)²]

频域响应

推导

参数

G₀ (Pa)200

λ (s)10

G' 储能模量

G'' 损耗模量

tan δ = G''/G'

串联应变叠加

γ_total = γ_spring + γ_dashpot

dγ/dt = (1/G)·dτ/dt + τ/η₀

整理得Maxwell方程

τ + (η₀/G)·dτ/dt = η₀·γ̇

定义松弛时间 λ = η₀/G₀

SAOS频域解

令 γ=γ₀e^(iωt)，τ=τ₀e^(iωt)，代入得：

G*(ω) = G₀·iλω/(1+iλω)

G' = G₀(λω)²/[1+(λω)²]

G'' = G₀λω/[1+(λω)²]

交叉点（crossover）

G'=G'' 时: ω_c = 1/λ

低频G''>G' → 液体；高频G'>G'' → 固体

参数	符号	单位	说明
平台模量	G₀	Pa	高频弹性平台
松弛时间	λ=η₀/G₀	s	弹性→粘性转换特征时间

粘弹液体频率扫描松弛时间

Kelvin-Voigt 模型

弹簧并联阻尼器 | 粘弹固体

2参数

τ = G·γ + η·dγ/dt

蠕变: γ(t) = (τ₀/G)[1−e^(−t/λ)]，λ=η/G

蠕变动画

推导

参数

G (Pa)100

η (Pa·s)300

蠕变 γ(t)

应力τ₀(阶跃)

并联元件应力叠加

τ_total = τ_spring + τ_dashpot

τ = G·γ + η·dγ/dt

蠕变：恒应力τ₀

τ₀ = G·γ + η·dγ/dt

一阶线性ODE，分离变量求解

蠕变解析解

γ(t) = (τ₀/G)·[1 − exp(−t/λ)]

λ = η/G（延迟时间）

特征行为

t→∞: γ→τ₀/G（弹性极限）
不能描述永久流动，适合粘弹固体

参数	符号	单位	说明
弹性模量	G	Pa	弹性恢复能力
粘度	η	Pa·s	蠕变速率控制
延迟时间	λ=η/G	s	达到平衡的特征时间

凝胶软固体生物组织蠕变测试

Burgers 模型

Maxwell + Kelvin-Voigt 串联

4参数

G(t) = G₁·e^−t/λ₁ + G₂[1−e^−t/λ₂] + t/η₃

瞬时弹性 + 延迟弹性 + 永久流动

蠕变动画

推导

参数

G₁ (Pa)200

G₂ (Pa)100

λ₁ (s)5

λ₂ (s)20

总蠕变 γ(t)

瞬时弹性

延迟弹性

永久流动

串联结构

Maxwell元件（G₁+η₁串联）+ Kelvin-Voigt元件（G₂‖η₂并联）串联

总应变叠加

γ(t) = γ_Maxwell + γ_KV

γ(t) = τ₀/G₁ + τ₀·t/η₁ + (τ₀/G₂)[1−e^(−t/λ₂)]

三个物理贡献

① 瞬时弹性: τ₀/G₁ （跳变）

② 永久流动: τ₀·t/η₁ （线性增长）

③ 延迟弹性: (τ₀/G₂)[1−e^(−t/λ₂)] （指数饱和）

卸载后恢复

延迟弹性部分可恢复，永久流动不可恢复 → 描述沥青蠕变-恢复行为

参数	符号	单位	说明
瞬时模量	G₁	Pa	Maxwell弹性分量
延迟模量	G₂	Pa	KV弹性分量
松弛时间	λ₁=η₁/G₁	s	Maxwell松弛
延迟时间	λ₂=η₂/G₂	s	KV延迟

沥青生物组织聚合物蠕变

广义Maxwell模型 (GMM)

最通用线性粘弹模型

2N参数

G(t) = Σ_i G_i·e^−t/λᵢ
G'(ω) = Σ_i G_i(λ_iω)²/[1+(λ_iω)²]

频域动画

推导

参数

模式数 N3

λ分布宽度3

G'(ω)

G''(ω)

各模式贡献

N个Maxwell元件并联

每个元件有独立的 (Gᵢ, λᵢ)，代表不同松弛机制

总应力叠加

τ(t) = Σᵢ τᵢ(t)

G(t) = Σᵢ Gᵢ·exp(−t/λᵢ)

频域Fourier变换

G'(ω) = Σᵢ Gᵢ(λᵢω)²/[1+(λᵢω)²]

G''(ω) = Σᵢ Gᵢλᵢω/[1+(λᵢω)²]

连续谱极限

N→∞: G(t) = ∫H(λ)·e^(−t/λ)·d(lnλ)

H(λ)为连续松弛时间谱，是材料指纹

参数	符号	说明
各模量	Gᵢ (i=1..N)	第i个松弛模式的模量
各松弛时间	λᵢ (i=1..N)	第i个松弛模式的特征时间

安东帕RheoPlus软件内置GMM拟合：频率扫描→自动提取{Gᵢ,λᵢ}离散谱

任意线性粘弹材料频率扫描拟合松弛谱

§3

非线性粘弹性模型

Nonlinear Viscoelastic Models — 大变形本构

Oldroyd-B 模型

上对流Maxwell + 溶剂

3参数

τ + λ₁∇τ = η₀(D + λ₂∇D)

∇τ = Dτ/Dt − (∇v)ᵀ·τ − τ·∇v （上对流导数）

法向应力

推导

参数

η_p (Pa·s)20

λ₁ (s)10

η(γ̇) 粘度

N₁ 第一法向应力差

上对流导数（客观性）

∇τ = Dτ/Dt − (∇v)ᵀ·τ − τ·∇v

满足帧不变性，适用于大变形流动

UCM（上对流Maxwell）

τ + λ·∇τ = η_p·2D

仅含聚合物贡献，无溶剂

加入溶剂贡献

τ = τ_p + τ_s

τ_s = η_s·2D （Newtonian溶剂）

Oldroyd-B完整形式

τ + λ₁∇τ = η₀(D + λ₂∇D)

λ₂=η_s·λ₁/(η_s+η_p)，λ₂<λ₁

参数	符号	说明
零剪切粘度	η₀=η_p+η_s	聚合物+溶剂贡献
松弛时间	λ₁	应力松弛特征时间
延迟时间	λ₂	应变延迟（λ₂<λ₁）

⚠ 无剪切变稀，N₁=2η_p·λ₁·γ̇²（二次方），适用Boger流体

Boger流体聚合物稀溶液拉伸流动

Giesekus 模型

各向异性阻力 | 聚合物熔体

3参数

τ + λ∇τ + (αλ/η_p)τ·τ = η_p·2D

α: 各向异性参数 (0~0.5)，控制非线性强度

动画

推导

参数

α (各向异性)0.10

λ (s)10

η(γ̇) 粘度（变稀）

N₁ 法向应力差

UCM基础

τ + λ∇τ = η_p·2D

UCM无剪切变稀，需添加非线性项

各向异性阻力假设

阻力张量与构型张量对齐（各向异性），引入 τ·τ 二次项

Giesekus本构

τ + λ∇τ + (αλ/η_p)τ·τ = η_p·2D

α=0: 退化为UCM；α∈(0,0.5]: 剪切变稀+N₁+N₂

稳态剪切解析解

令 β=λγ̇，η_p(γ̇) = η_p·f(α,β)

高剪切：η∝γ̇^(-1/2)（强变稀）

参数	符号	范围	说明
聚合物粘度	η_p	Pa·s	聚合物贡献
松弛时间	λ	s	特征松弛
各向异性参数	α	0~0.5	非线性强度

聚合物熔体浓溶液N₁预测

PTT 模型

Phan-Thien-Tanner | 挤出成型

3参数

exp(ελtrτ/η_p)·τ + λ∇τ = η_p·2D

线性型：[1 + ελtrτ/η_p]τ + λ∇τ = η_p·2D

动画

推导

参数

ε (PTT参数)0.10

λ (s)10

η(γ̇) PTT

η(γ̇) UCM对比

网络理论基础

基于橡胶弹性网络模型，允许链段在高应力下解缠/断裂

应力相关松弛率

松弛率 ∝ exp(ε·λ·trτ/η_p)

应力越大，链段交换越快，有效松弛时间减小 → 变稀

指数型PTT

exp(ελtrτ/η_p)·τ + λ∇τ = η_p·2D

ε参数作用

ε=0: UCM（无变稀）

ε大: 强剪切变稀 + 强拉伸变稀

参数	符号	说明
聚合物粘度	η_p	Pa·s
松弛时间	λ	特征松弛时间
PTT参数	ε	控制剪切/拉伸非线性强度

聚合物挤出注塑成型CFD模拟

模型	参数数	屈服应力	剪切变稀	弹性	零剪切平台	主要适用
牛顿	1	✗	✗	✗	✓	水、溶剂
幂律	2	✗	✓	✗	✗	聚合物中剪切区
Bingham	2	✓	✗	✗	✗	泥浆、牙膏
H-B	3	✓	✓	✗	✗	通用屈服流体
Casson	2	✓	✓	✗	✗	血液、巧克力
Carreau	4	✗	✓	✗	✓	聚合物全范围
Cross	4	✗	✓	✗	✓	涂料、油墨
Maxwell	2	✗	✗	✓	✓	粘弹液体
Kelvin-Voigt	2	✗	✗	✓	✗	粘弹固体
Burgers	4	✗	✗	✓	✓	沥青、生物组织
GMM	2N	✗	✗	✓	✓	任意LVE材料
Oldroyd-B	3	✗	✗	✓	✓	稀聚合物溶液
Giesekus	3	✗	✓	✓	✓	聚合物熔体
PTT	3	✗	✓	✓	✓	挤出成型

流变本构模型互动可视化推导

流变本构模型
互动可视化推导