DIN 53019 流变学
完整公式推导交互体系
安东帕旋转流变仪标准 · 22张交互卡片 · 每张含推导过程与实时动画参数调节
📐
流动基础
4
应力·应变·剪切速率·张量
💧
黏度模型
4
幂律·Carreau·Cross·WLF
🔩
屈服应力
3
Bingham·H-B·Casson
🌀
黏弹性模型
3
Maxwell·Kelvin·Burgers
📊
动态振荡
4
G'·G''·tanδ·Cox-Merz
🔢
无量纲数
4
Re·Wi·De·Ca
📋
标准规范
DIN
53019·ISO 3219·ASTM D4440
🎬
交互动画
22
全部含参数调节与实时绘图
DIN 53019 · K-01
剪切应力 Shear Stress
切向力与面积之比 · 流变测量核心量
＋
τ = F / A
[ τ ] = Pa = N/m² | F:切向力(N) | A:面积(m²)
动画 — 平行板剪切
力 F 10 N
面积 A 100 cm²
τ = 1000 Pa
实时结果
1
平行板物理模型
上板面积A受切向力F驱动，下板固定，无滑移边界条件，间隙h远小于板半径R。
2
严格极限定义（连续体力学）
τ = lim(ΔA→0) ΔFₜ/ΔA
应力是二阶张量σᵢⱼ，剪切分量τ₁₂=τ₂₁（Cauchy互等定理确保）。
3
工程近似（均匀分布）
τ = F / A （h≪R时误差<1%）
4
DIN 53019同轴圆柱实际计算
τ = M / (2π Rᵢ² L)
M:扭矩，Rᵢ:内筒半径，L:有效长度。仪器系数A*=2πRᵢ²L由标准几何决定，溯源至PTB。
单位
Pa = N/m²
DIN 53019几何
同轴圆柱/锥板
典型范围
0.001~100,000 Pa
DIN 53019 · K-02
剪切速率 Shear Rate
速度梯度 · 流动强度核心度量
＋
γ̇ = dv/dy = v/h
[ γ̇ ] = s⁻¹ | v:板速度(m/s) | h:间隙(m)
动画 — 速度梯度分布
速度 v 50 mm/s
间隙 h 1.0 mm
γ̇ = 50 s⁻¹
实时计算
1
从剪切应变定义出发
γ = Δx/h = tanθ ≈ θ （小变形近似）
2
对时间求导
γ̇ = dγ/dt = (1/h)·d(Δx)/dt = v/h
3
连续体一般形式
γ̇ = ∂v_x/∂y （速度梯度分量）
4
DIN 53019同轴圆柱（窄间隙近似）
γ̇ = 2Ω·Rₐ²Rᵢ² / [(Rₐ²−Rᵢ²)·r²]
DIN 53019规定δ=(Rₐ−Rᵢ)/Rᵢ<0.1，保证剪切速率均匀性误差<5%。
DIN 53019范围
10⁻³ ~ 10⁴ s⁻¹
典型应用
流动曲线·触变性
标准
DIN 53019ISO 3219
DIN 53019 · K-03
动力黏度 Dynamic Viscosity
牛顿黏性定律 · 流动阻力量化
＋
η = τ / γ̇
[ η ] = Pa·s | 1 Pa·s = 1000 mPa·s = 1000 cP
动画 — τ-γ̇ 线性关系（牛顿流体）
黏度 η 1.0 Pa·s
测量点 γ̇ 10 s⁻¹
τ = 10 Pa
η × γ̇
1
牛顿假设（Newton 1686）
τ ∝ γ̇ → τ = η·γ̇ （η为常数）
比例系数η称为动力黏度，对牛顿流体独立于剪切速率和应变历史。
2
分子动理论（气体，Maxwell）
η = ρ·ū·λ_mfp / 3
ū:热运动均方根速度，λ:平均自由程。气体η随T升高而增大（∝√T）。
3
Eyring活化理论（液体）
η = A·exp(Eₐ/RT) （Arrhenius）
液体η随T升高而降低，Eₐ为流动活化能（kJ/mol），典型值：水~18，甘油~60，聚合物~100~200。
4
DIN 53019仪器计算
η = (M/Ω)·(A*/B*) ，A*=1/(2πRᵢ²L)，B*=(Rₐ²+Rᵢ²)/(Rₐ²−Rᵢ²)
A*:应力系数，B*:剪切速率系数，需用PTB标准液（Cannon S系列）溯源校准。
水(25°C)
0.89 mPa·s
蜂蜜
2,000~10,000 mPa·s
聚合物熔体
100~100,000 Pa·s
DIN 53019 · K-04
速度梯度张量分解
变形 Dᵢⱼ + 旋转 Wᵢⱼ · 本构方程基础
＋
Lᵢⱼ = Dᵢⱼ + Wᵢⱼ
Dᵢⱼ=½(∂vᵢ/∂xⱼ+∂vⱼ/∂xᵢ) 对称 | Wᵢⱼ=½(∂vᵢ/∂xⱼ−∂vⱼ/∂xᵢ) 反对称
动画 — 纯变形 vs 纯旋转
γ̇ 1.0 s⁻¹
1
速度梯度张量定义
Lᵢⱼ = ∂vᵢ/∂xⱼ （3×3二阶张量）
2
恒等分解（任意二阶张量）
L = ½(L+Lᵀ) + ½(L−Lᵀ) = D + W
3
简单剪切流(vₓ=γ̇y)展开
D₁₂=D₂₁=γ̇/2 W₁₂=−W₂₁=γ̇/2
D描述纯变形（可产生应力），W描述刚体旋转（不产生应力）。
4
本构方程旋转不变原理
τᵢⱼ = f(D) （与W无关）
各向同性流体本构方程仅依赖变形速率张量D，这是建立广义牛顿流体模型的基本假设。
D特性
对称，6个独立分量
W特性
反对称，3个独立分量
不可压缩条件
tr(D)=∇·v=0
DIN 53019 · V-01
幂律模型 Power Law
Ostwald-de Waele · 假塑性与膨胀性统一描述
＋
τ = K·γ̇ⁿ η = K·γ̇ⁿ⁻¹
K:稠度系数[Pa·sⁿ] | n:流动指数 | n<1假塑性 n>1膨胀性
动画 — 双对数流动曲线
K 1.0 Pa·sⁿ
n 0.50
1
广义牛顿流体假设
η_app = K·γ̇ⁿ⁻¹
黏度随剪切速率幂次变化，K和n由实验流动曲线双对数拟合得到。
2
代入τ=η·γ̇
τ = K·γ̇ⁿ⁻¹·γ̇ = K·γ̇ⁿ
3
对数线性化（DIN 53019-3拟合）
log τ = log K + n·log γ̇
双对数坐标直线：斜率=n，截距=logK。规定在至少一个数量级内线性拟合。
4
流体类型判断
n=1:牛顿 | n<1:假塑性（链缠结解开）| n>1:膨胀性（粒子锁死）
聚合物熔体n
0.2 ~ 0.6
浓淀粉糊n
1.2 ~ 2.0
标准
DIN 53019-3
DIN 53019 · V-02
Carreau-Yasuda 模型
完整黏度曲线 · η₀和η∞两个平台
＋
(η−η∞)/(η₀−η∞) = [1+(λγ̇)ᵃ]^((n-1)/a)
η₀:零剪切黏度 | λ:弛豫时间(s) | n:幂律指数 | a:过渡宽度
动画 — 完整黏度曲线
η₀ 100 Pa·s
λ 1.0 s
n 0.30
1
松弛时间谱物理基础
η'(ω)=∫₀^∞ H(λ)λ/(1+ω²λ²)dlnλ
Carreau模型是单特征时间对连续松弛谱的近似，λ≈1/γ̇_c（临界剪切速率的倒数）。
2
Carreau(1972)原始形式 a=2
(η−η∞)/(η₀−η∞) = [1+(λγ̇)²]^((n-1)/2)
3
Yasuda(1981)引入参数a
a控制η₀平台向幂律区过渡的弯曲宽度，a=2退化为Carreau
4
极限行为验证
γ̇→0: η→η₀ γ̇→∞: η→η∞ λγ̇≫1: η≈Kγ̇^(n-1)
幂律区参数关系：K=(η₀−η∞)·λ^(n-1)。
参数个数
5个(η₀,η∞,λ,n,a)
适用材料
聚合物溶液/熔体
优势
全范围·物理参数明确
DIN 53019 · V-03
Cross 模型
四参数 · 涂料/油漆/食品体系常用
＋
η = η∞ + (η₀−η∞)/[1+(K·γ̇)ᵐ]
m:幂律指数 | K:时间常数(s) | 关系m=1−n(幂律区)
动画 — Cross vs Carreau对比
η₀ 100 Pa·s
K 1.0 s
m 0.70
1
Cross(1965)经验公式
η = η∞ + (η₀−η∞)/(1+(Kγ̇)ᵐ)
与Carreau形式相近，分母无根号，数学简洁，适合涂料行业DIN EN ISO 3219。
2
幂律区分析(Kγ̇≫1)
η ≈ (η₀−η∞)/Kᵐ · γ̇⁻ᵐ = K'·γ̇^(n-1)
参数关系：n=1−m，m是剪切变稀程度的直接度量。
3
与Carreau模型比较
Cross: 1/(1+(Kγ̇)ᵐ) vs Carreau: [1+(λγ̇)²]^((n-1)/2)
Cross模型过渡区更陡，适合有明确临界剪切速率的体系如涂料施工窗口分析。
典型m值
涂料0.5~0.9
适用体系
涂料·油墨·食品
参数数量
4个(η₀,η∞,K,m)
DIN 53019 · V-04
温度依赖性 Arrhenius / WLF
黏度-温度关系 · 时温叠加原理基础
＋
η=A·exp(Eₐ/RT) / lgaT=−C₁(T−Tᵣ)/(C₂+T−Tᵣ)
Eₐ:活化能(J/mol) | C₁=17.44, C₂=51.6K (WLF普适常数,参考温度Tg)
动画 — lnη vs 1/T (Arrhenius图)
Eₐ 40 kJ/mol
T参考 25 °C
模型 Arrhenius
1
Arrhenius方程（高温区T>Tg+100K）
η(T) = A·exp(Eₐ/RT)
线性化：lnη = lnA + Eₐ/(RT)，lnη vs 1/T 为直线，斜率=Eₐ/R。
2
WLF方程（Tg~Tg+100K区间）
lgaT = −C₁(T−Tᵣ)/(C₂+T−Tᵣ)
Williams-Landel-Ferry(1955)方程，描述玻璃化转变区黏度对温度的强非线性依赖。
3
时温叠加原理(TTS)
G*(ω,T) = bT·G*(aT·ω,Tᵣ)
移位因子aT由WLF/Arrhenius决定，bT为垂直移位（密度修正），构建主曲线。
4
活化能计算（DIN 53019测定）
Eₐ = R·d(lnη)/d(1/T) （单位:J/mol）
在双对数坐标下从η₀(T)斜率直接读取，典型值：矿物油30~50 kJ/mol，聚合物熔体80~200 kJ/mol。
水Eₐ
~18 kJ/mol
聚合物熔体Eₐ
80~200 kJ/mol
WLF适用范围
Tg ~ Tg+100K
DIN 53019 · Y-01
Bingham 塑性模型
最简单屈服应力流体 · 屈服后牛顿流动
＋
τ = τ_y + η_pl·γ̇ (τ>τ_y)
τ_y:屈服应力(Pa) | η_pl:塑性黏度(Pa·s) | γ̇=0(τ≤τ_y)
动画 — Bingham流动曲线与屈服判断
τ_y 20 Pa
η_pl 0.5 Pa·s
施加τ 30 Pa
1
物理模型：网络结构+流动
材料内部存在弱固体网络结构，需要最小应力τ_y才能破坏网络使材料流动，常见于牙膏、黄油、泥浆。
2
Bingham(1916)本构方程
τ = τ_y + η_pl·γ̇ (τ>τ_y) ; γ̇=0 (τ≤τ_y)
3
屈服应力τ_y测定（DIN 53019）
τ_y = 外推τ-γ̇曲线至γ̇=0时的截距
实验方法：(1)稳态流动曲线外推；(2)应力扫描G'/G''交叉点；(3)蠕变/恢复临界应力。
4
Bingham数（流动/屈服比）
Bi = τ_y·L/(η_pl·v) （量纲数）
Bi≫1：材料像固体，Bi≪1：屈服后接近牛顿流动。
牙膏τ_y
50~200 Pa
钻井液τ_y
5~50 Pa
巧克力τ_y
10~100 Pa
DIN 53019 · Y-02
Herschel-Bulkley 模型
屈服应力 + 幂律流动 · 最广义塑性模型
＋
τ = τ_y + K·γ̇ⁿ (τ>τ_y)
τ_y:屈服应力 | K:稠度系数 | n:流动指数 | 含Bingham(n=1)和幂律(τ_y=0)
动画 — H-B模型参数影响
τ_y 15 Pa
K 2.0 Pa·sⁿ
n 0.60
1
Herschel-Bulkley(1926)广义公式
τ = τ_y + K·γ̇ⁿ (τ>τ_y)
结合屈服应力和幂律流动，适用于番茄酱、水泥浆、血液等复杂流体。
2
特殊情况退化
n=1 → Bingham ; τ_y=0 → 幂律 ; n=1,τ_y=0 → 牛顿
3
表观黏度（屈服后）
η_app = τ_y/γ̇ + K·γ̇ⁿ⁻¹
第一项为Bingham贡献（随γ̇升高而减小），第二项为幂律贡献。
4
DIN 53019测定τ_y方法
对(τ−τ_y)^(1/n) vs γ̇作图，截距外推得τ_y
推荐使用应力控制仪器做蠕变实验，在τ附近寻找γ̇突变点作为真实屈服应力。
番茄酱τ_y
15~50 Pa
水泥浆τ_y
20~100 Pa
典型n
0.3~0.8
DIN 53019 · Y-03
Casson 模型
巧克力/血液专用 · ISO 2884标准模型
＋
√τ = √τ_y + √(η_∞·γ̇)
τ_y:屈服应力(Pa) | η_∞:高剪切极限黏度(Pa·s) | ISO 2884巧克力标准
动画 — √τ vs √γ̇ 线性化
τ_y 10 Pa
η_∞ 2.0 Pa·s
1
Casson(1959)原始推导——颗粒聚集体模型
将色素颗粒视为在介质中形成链状聚集体，推导出√τ与√γ̇成线性关系，原用于印刷油墨流变描述。
2
本构方程
√τ = √τ_y + √(η_Ca·γ̇) (τ>τ_y)
η_Ca为Casson黏度（≈高剪切极限黏度η_∞），√τ vs √γ̇线性化，斜率²=η_Ca，截距²=τ_y。
3
展开为τ形式
τ = τ_y + 2√(τ_y·η_Ca·γ̇) + η_Ca·γ̇
中间项为交叉耦合项，体现屈服应力与黏性流动的相互作用。
4
ISO 2884巧克力标准测定
在5~50 s⁻¹范围测定，√τ vs √γ̇外推得τ_y和η_Ca
巧克力流动特性影响加工性（浇注、涂层）和口感，Casson参数是质量控制关键指标。
黑巧克力τ_y
5~40 Pa
血液τ_y
0.002~0.01 Pa
标准
ISO 2884IOCCC
DIN 53019 · VE-01
Maxwell 模型
弹簧+阻尼器串联 · 应力弛豫描述
＋
τ + λ·dτ/dt = η·γ̇
λ=η/G:弛豫时间(s) | G:弹性模量(Pa) | η:黏度(Pa·s)
动画 — 应力弛豫 G(t) = G·exp(−t/λ)
G 1000 Pa
λ 1.0 s
t* 1.0 s
1
串联力学模型
弹簧（Hookean，模量G）与阻尼器（Newton，黏度η）串联，总应变=弹性应变+黏性应变。
2
应变速率叠加
γ̇_total = γ̇_spring + γ̇_dashpot = (1/G)·dτ/dt + τ/η
3
整理得Maxwell方程
τ + (η/G)·dτ/dt = η·γ̇ 即 τ + λ·τ̇ = η·γ̇
4
应力弛豫解（γ̇=0后）
G(t) = G·exp(−t/λ) ，λ=η/G
t≪λ：弹性固体行为；t≫λ：黏性液体行为。弛豫时间λ是弹性/黏性转变的特征时间尺度。
模型类型
串联 (弹簧+阻尼)
描述行为
应力弛豫·流体行为
弛豫时间λ
η/G
DIN 53019 · VE-02
Kelvin-Voigt 模型
弹簧+阻尼器并联 · 蠕变与恢复描述
＋
τ = G·γ + η·γ̇
G:弹性模量(Pa) | η:黏度(Pa·s) | 推迟时间 τ_ret=η/G
动画 — 蠕变曲线 γ(t)
G 500 Pa
η 500 Pa·s
τ_applied 100 Pa
1
并联力学模型
弹簧（模量G）与阻尼器（黏度η）并联，两元件承受相同应变γ，应力叠加。
2
应力叠加
τ = τ_spring + τ_dashpot = G·γ + η·dγ/dt
3
蠕变解（恒定应力τ₀）
γ(t) = (τ₀/G)·[1 − exp(−t/τ_ret)] ，τ_ret=η/G
应变从0逐渐增大到平衡值γ_eq=τ₀/G，推迟时间τ_ret控制达到平衡的速率。
4
恢复阶段（撤去应力后）
γ(t) = γ_eq·exp(−t/τ_ret)
应变完全恢复（无永久变形），体现固体弹性特征，适用于交联橡胶、凝胶体系。
模型类型
并联 (弹簧‖阻尼)
描述行为
蠕变·完全恢复
推迟时间
τ_ret = η/G
DIN 53019 · VE-03
Burgers 四元件模型
Maxwell + Kelvin-Voigt 串联 · 完整蠕变描述
＋
γ(t) = τ₀[1/G₁ + t/η₁ + (1/G₂)(1−e^(−t/λ₂))]
G₁:瞬时弹性 | η₁:永久流动 | G₂,η₂:推迟弹性 | λ₂=η₂/G₂
动画 — 完整蠕变/恢复曲线
G₁ 1000 Pa
η₁ 5000 Pa·s
λ₂ 2.0 s
1
四元件串联结构
弹簧₁(G₁) + 阻尼器₁(η₁) + [弹簧₂(G₂)‖阻尼器₂(η₂)]，前两者为Maxwell单元，后者为Kelvin-Voigt单元。
2
各部分应变叠加
γ = γ_e + γ_f + γ_ret
γ_e=τ₀/G₁瞬时弹性，γ_f=τ₀t/η₁永久流动，γ_ret=（τ₀/G₂）(1-e^(-t/λ₂))推迟弹性。
3
蠕变总方程
γ(t) = τ₀·[1/G₁ + t/η₁ + (1/G₂)(1−e^(−t/λ₂))]
4
撤载恢复分析
永久变形 = τ₀·t_load/η₁ （不可恢复部分）
恢复量=γ_e+γ_ret，永久流动γ_f不可恢复。蠕变柔量J(t)=γ(t)/τ₀是材料特征函数。
参数个数
4个 (G₁,η₁,G₂,η₂)
描述行为
蠕变·部分恢复·永久形变
典型应用
沥青·聚合物·食品凝胶
DIN 53019 · D-01
储能与损耗模量 G', G''
动态振荡核心参数 · 弹性与黏性分量
＋
G* = G' + i·G'' |G*| = √(G'²+G''²)
G':储能模量(Pa) 弹性分量 | G'':损耗模量(Pa) 黏性分量 | δ:相位角
动画 — G'/G'' 频率扫描 (Maxwell模型)
G_e 1000 Pa
λ 1.0 s
1
施加正弦应变
γ(t) = γ₀·sin(ωt) ，γ₀:应变幅值，ω:角频率
2
线性黏弹性范围内的应力响应
τ(t) = τ₀·sin(ωt+δ) = G'·γ₀·sin(ωt) + G''·γ₀·cos(ωt)
G'与应变同相（弹性贡献），G''超前90°（黏性耗散贡献），δ为相位角。
3
Maxwell模型频率依赖（解析解）
G'=G·(ωλ)²/[1+(ωλ)²] G''=G·ωλ/[1+(ωλ)²]
ωλ=1时G'=G''（交叉点），对应弛豫时间λ。低频G''∝ω，G'∝ω²（液体渐近）。
4
DIN 53019动态测试条件
需在LVER（线性黏弹区）内测定，即G'与γ₀无关
DIN 53019-4规定：频率扫描前须做振幅扫描确认LVER范围，通常γ₀<1%对强凝胶，γ₀<0.1%对弱凝胶。
G'≫G''
固体/凝胶特征
G''≫G'
液体/溶液特征
G'=G''
凝胶点/交叉频率
DIN 53019 · D-02
损耗角正切 tan δ
黏弹性比值 · 材料阻尼特性
＋
tan δ = G'' / G' δ = arctan(G''/G')
δ=0°:纯弹性固体 | δ=90°:纯黏性液体 | δ=45°:等黏弹
动画 — 相位角与Lissajous图
G' 1000 Pa
G'' 500 Pa
tanδ= 0.50
实时计算
1
能量物理意义
E_stored = ½G'γ₀² （弹性储存能） E_lost = πG''γ₀² （每周期耗散能）
2
tanδ定义
tanδ = G''/G' = E_lost/(2π·E_stored)
tanδ是每周期耗散能与最大储存能之比（除以2π），越小表示材料越弹性。
3
Lissajous图（τ vs γ）形状判断
δ=0°:直线 | δ=45°:斜椭圆 | δ=90°:正椭圆
椭圆面积正比于G''（耗散），椭圆斜率正比于|G*|，非线性时椭圆变形。
4
工程应用
防振材料: tanδ最大化 | 弹性器件: tanδ最小化
轮胎配方：滚动阻力(低频tanδ小)与抓地力(高频tanδ大)的平衡是关键设计指标。
强凝胶tanδ
< 0.1
聚合物熔体tanδ
0.1 ~ 10
稀溶液tanδ
> 10
DIN 53019 · D-03
复数黏度 η* 与 Cox-Merz 规则
动态黏度 · 与稳态黏度的对应关系
＋
η*(ω) = G*(ω)/iω = η'−iη'' |η*(ω)| ≈ η(γ̇)|_{γ̇=ω}
η':动态黏度 = G''/ω | η'':弹性黏度 = G'/ω | Cox-Merz规则
动画 — |η*| vs ω 与 η vs γ̇ 叠加
η₀ 100 Pa·s
λ 1.0 s
n 0.40
1
复数黏度定义
η*(ω) = G*(ω)/(iω) = G''(ω)/ω − i·G'(ω)/ω = η' − iη''
2
模值计算
|η*(ω)| = |G*(ω)|/ω = √(G'²+G''²)/ω
3
Cox-Merz 规则（1958）
|η*(ω)| ≈ η(γ̇) 当 ω = γ̇ 时
对许多聚合物体系成立（经验规则），允许用振荡实验预测稳态流动行为，尤其在高γ̇难以直接测量时有用。
4
Cox-Merz失效情况
强结构化体系（凝胶、悬浮液）Cox-Merz不适用
屈服应力流体、高浓度悬浮液、交联体系通常|η*(ω)|>η(γ̇)，需直接测定稳态流动曲线。
η'
G''/ω（黏性分量）
η''
G'/ω（弹性分量）
Cox-Merz适用
线性链聚合物溶液/熔体
DIN 53019 · D-04
振幅扫描与线性黏弹区 LVER
非线性判断 · 结构破坏分析
＋
LVER: G', G'' = const (γ₀ < γ_L)
γ_L:线性极限应变 | γ_y:屈服应变(G'=G''交叉) | G'↓时进入非线性区
动画 — G'/G'' 振幅扫描曲线
G'₀ 1000 Pa
γ_L 1.0 %
tan δ₀ 0.10
1
线性黏弹区(LVER)定义
LVER: G'(γ₀) = G'₀ = const （偏差<5%）
在LVER内，材料的微观结构未被破坏，模量与应变幅值无关，Boltzmann叠加原理成立。
2
LVER终点判断标准（DIN 53019-4）
γ_L：G'下降5%时对应的应变幅值
频率扫描须在γ₀<γ_L/2的条件下进行，确保测量处于线性区。
3
过屈服点（非线性区）行为
G'(γ₀)↓：结构破坏 | G''出现峰值：流动单元激活
G''峰值（'overshoot'）对应于从弹性储能到黏性耗散的最大转变，与微观结构解缠/破坏有关。
4
触变性结构分析
G'₀：结构强度 | γ_L：结构敏感性 | G'(γ→∞)/G'₀：残余结构比
振幅扫描是触变性、凝胶强度、屈服行为表征的关键实验，DIN 53019-4有完整规程。
强凝胶γ_L
< 0.1%
弱凝胶γ_L
0.1 ~ 1%
标准
DIN 53019-4
DIN 53019 · DL-01
雷诺数 Reynolds Number
惯性力/黏性力 · 层流-湍流判断
＋
Re = ρ·v·L / η
ρ:密度(kg/m³) | v:特征速度(m/s) | L:特征长度(m) | η:动力黏度(Pa·s)
动画 — Re数与流态转变
ρ 1000 kg/m³
v 1.0 m/s
η 1.0 mPa·s
Re= 1000
实时计算
1
量纲分析推导
F_inertia ~ ρv²L² ; F_viscous ~ ηvL
Re = F惯性/F黏性 = ρv²L²/(ηvL) = ρvL/η，Osborne Reynolds(1883)从管流实验总结。
2
N-S方程无量纲化推导
∂u/∂t + u·∇u = −∇p + (1/Re)·∇²u
Re出现在无量纲N-S方程的扩散项系数中，Re→∞时黏性项消失退化为Euler方程。
3
临界值（圆管Poiseuille流）
Re<2300:层流 2300<Re<4000:过渡 Re>4000:湍流
4
DIN 53019旋转黏度计Re控制
Re = ρΩRᵢ(Rₐ−Rᵢ)/η < 1 （Taylor涡流判断）
DIN 53019要求Re远小于Taylor涡流临界值，确保测量为稳定层流Couette流，误差<1%。
层流
Re < 2300
湍流
Re > 4000
DIN 53019要求
Re ≪ Re_Taylor
DIN 53019 · DL-02
Weissenberg 数
弹性效应/黏性效应 · 非牛顿流体判断
＋
Wi = λ · γ̇ = λ · v/L
λ:流体弛豫时间(s) | γ̇:剪切速率(s⁻¹) | Wi≫1:弹性效应主导
动画 — Wi数与法向应力差
λ 1.0 s
γ̇ 1.0 s⁻¹
Wi= 1.0
λ × γ̇
1
物理意义
Wi = 弹性储能时间 / 流动特征时间 = λ·γ̇
Wi≪1：流体来得及弛豫，表现牛顿行为；Wi≫1：弛豫时间远大于流动时间，弹性效应显著。
2
第一法向应力差(UCM模型)
N₁ = τ₁₁−τ₂₂ = 2ηλγ̇² = 2τ·Wi
Wi→0时N₁/τ→0（牛顿），Wi增大时N₁/τ增大，产生Weissenberg效应（爬杆现象）。
3
Wi与剪切变稀的关系
Wi~1时开始剪切变稀，分子链来不及完全弛豫而被拉伸取向
4
与Deborah数区别
Wi=λγ̇（变形强度） De=λ/t_obs（时间尺度比）
De描述观测时间尺度的影响，Wi描述变形速率的影响，两者相关但物理意义不同。
Wi≪1
近牛顿行为
Wi~1
剪切变稀开始
Wi≫1
强弹性效应
DIN 53019 · DL-03
Deborah 数
弛豫时间/观测时间 · 固液判断
＋
De = λ / t_obs = λ · f_obs
λ:材料弛豫时间(s) | t_obs:观测时间(s) | De≪1:液体 De≫1:固体
动画 — 不同De数的材料响应
λ 10 s
t_obs 10 s
De= 1.0
λ/t_obs
1
Reiner(1964)命名，圣经引用
De = λ_material / t_observation
"对先知底波拉而言，山也会流动。"(士师记 5:5) —— 一切物质在足够长时间尺度上都会流动。
2
物理意义
De≪1: t_obs≫λ，弛豫完全，表现液体 ; De≫1: t_obs≪λ，弛豫不完全，表现固体
3
频率扫描中的De
De = λω （振荡实验，ω为角频率）
低频ω→0：De→0（液体行为，G'∝ω²，G''∝ω）；高频：De→∞（固体行为，G'→G_∞）。
4
实例
沥青路面(年):De≪1液体 | 沥青锤击(ms):De≫1固体
同一材料不同观测时间尺度表现完全不同的力学行为，这是时温等效和时间依赖测量的理论基础。
De≪1
液体行为（弛豫完全）
De≫1
固体行为（弛豫冻结）
De~1
黏弹性过渡区
DIN 53019 · DL-04
毛细管数 Capillary Number
黏性力/界面张力 · 液滴变形判断
＋
Ca = η · γ̇ · R / σ = τ·R/σ
η:连续相黏度(Pa·s) | R:液滴半径(m) | σ:界面张力(N/m)
动画 — Ca数与液滴变形/破碎
τ 10 Pa
R 100 μm
σ 10 mN/m
Ca= 0.10
实时计算
1
力的竞争
F_viscous ~ ηγ̇R² ~ τR² ; F_interfacial ~ σR
Ca = F黏性/F界面 = ηγ̇R/σ = τR/σ，描述液滴在剪切流中是否被拉伸变形。
2
临界毛细管数 Ca_cr
Ca < Ca_cr: 液滴变形但稳定 ; Ca > Ca_cr: 液滴破碎
Ca_cr取决于黏度比p=η_drop/η_matrix，Taylor理论：Ca_cr=(16p+16)/(19p+16)·(4/p)^(1/2)/4。
3
液滴变形参数D
D=(L−B)/(L+B) = Ca·(19p+16)/(16p+16) （Taylor小变形）
L:液滴长轴，B:短轴，D=0圆形，D=1完全拉伸成丝状。
4
DIN 53019乳液流变应用
乳液η依赖于液滴大小R(Ca)和分散相体积分数φ
混合过程优化：控制Ca略大于Ca_cr实现最细液滴分散，是乳化工艺放大的关键无量纲参数。
Ca≪1
液滴球形，界面主导
Ca~Ca_cr
液滴临界变形
Ca≫1
液滴拉伸破碎